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Un po di statistica, ma giusto un po

Vediamo ora il significato dei due termini che contraddistinguono i due metodi. Lo farò senza entrare nello specifico di termini statistici e, non me ne vogliano i puristi della materia, ma il mio scopo è quello di far utilizzare calcoli già fatti, rendere la vita facile al trader che deve capire semplicemente come leggere l’indicatore che viene proposto. Oltretutto, non avendo inventato io la dimostrazione del fenomeno, sarà sufficiente leggere le formule di Engle Granger che sono quelle utilizzate per i calcoli.

Inizio riproponendo il classico un esempio che viene citato per aiutare nella comprensione del significato diverso di due termini che all’apparenza indicano una proprietà uguale.

Correlazione

Si immagini di osservare due ubriachi che escono da un bar diretti verso casa e si supponga che, pur abitando entrambi nello stesso quartiere non si conoscano o decidano di affrontare percorsi diversi per far ritorno nelle loro abitazioni. Avranno pertanto una relazione che li accomuna e quindi potremmo in ogni istante misurarla calcolando la distanza che li separa rispetto alla loro meta. Dato che la meta è coincidente per entrambi, ad ogni intervallo di misurazione possiamo costruire il loro livello di correlazione. Ad intervalli di 5 minuti si avvicinano alla meta, non necessariamente con linearità. Ma si avvicinano e quindi sono correlati.

In statistica per correlazione si intende una relazione tra due variabili casuali tale che a ciascun valore della prima variabile corrisponda con una certa regolarità un valore della seconda in un intervallo di tempo ‘t’. Badate bene che non si tratta necessariamente di misurare un rapporto di causa-effetto, ma semplicemente della tendenza di una variabile a variare in funzione di un’altra.

Cointegrazione

Immaginate ora di osservare un ubriaco che porta a spasso il cane. Questa volta tra il percorso seguito dal padrone e quello seguito dal cane esiste una relazione, ma di che natura sarà questa relazione? Nonostante i percorsi del cane e quello del suo padrone siano

fondamentalmente casuali (random-walk) e non prevedibili, data la posizione di uno dei due, possiamo però farci un’idea di dove si possa trovare l’altro. Questo perché la distanza che li separa, seppur variabile durante i loro percorsi casuali, è limitata comunque dalla lunghezza del guinzaglio. In questo caso i due percorsi si definiscono tra loro cointegrati, e questo a prescindere dai rispettivi livelli di correlazione misurabili in specifici intervalli temporali.

In statistica il test di cointegrazione ricerca appunto l’esistenza di una relazione ‘stabile’ esistente tra due o più serie temporali con trend stocastici o apparentemente casuali.

Il test di cointegrazione calcola in pratica il valore di un coefficiente (sigma) δ (detto coefficiente di cointegrazione) tale che la differenza

Yt−δXt

ovvero, che la posizione del cane Y, meno la posizione dell’uomo X moltiplicata per questo coefficiente sigma misurata nello stesso istante ‘t’, sia una serie storica stazionaria.

Cosa significa? Significa che graficamente si vedrà una sorta di pista ciclica (una sinusoide), formata da dei valori la cui media è pari a zero, e la cui distanza rispetto alla media in un intero ciclo è costante. In pratica mi aspetterò un ritorno alla media quando questa linea sarà alla distanza massima del suo percorso.

Vantaggi Utilizzando l’analisi della cointegrazione rispetto alla correlazione ci si assicura una maggiore stabilità nel tempo aumentando le probabilità di profitto nelle strategie di tipo mean-reverting, cioè di ritorno alla media.

Vale a dire che dopo aver trovato la coppia, cercheremo la massima divergenza tra i due titoli che la compongono, sapendo che per le proprietà di ritorno verso la media, faranno convergere la loro distanza. E’ evidente che se abbiamo venduto il titolo che tornerà al valore della sua media (più basso) e comperato quello che invece tornerà al valore della sua media (più alto), avremmo il nostro profitto.

Nota: non il contrario perchè, partendo da quando sono convergenti non si saprebbe da che parte divergeranno.

Il principio, ripeto, è il ritorno alla media, NON l’allontanamento dalla media.

In pratica faremo la misurazione del grafico dell’OverSpread e quando si distanzierà dalla sua media raggiungendo i valori massimi probabili entreremo in posizione aspettandoci il ritorno alla media, cioè alla posizione 0.

Come facciamo a definire quali sono i valori massimi ?

Esiste una misurazione che se fatta sulla differenza della media dei prezzi ci consente di definire i valori massimi e minimi. Questa misurazione si chiama deviazione standard. La deviazione standard viene calcolata in 4 passaggi.

Il primo consiste nel calcolare la media dei Close.

Il secondo passaggio consiste nel calcolare di quanto ogni Close differisce dalla media dei Close di un campione di 10 barre, e dato che il valore potrebbe essere negativo, queste differenze vengono elevate al quadrato.

Il terzo passaggio consiste nel calcolare la somma di tutti i risultati ottenuti nel secondo passaggio, e dividerli per il numero di barre, cioè nel nostro caso 10. Il risultato che otteniamo si chiama varianza.

Il quarto ed ultimo passaggio è calcolare la radice quadrata della varianza, ottenendo finalmente il valore chiamato deviazione standard.

La deviazione standard è una rappresentazione numerica di quanto i Close di quel campione si discostano dalla loro media. Se la nostra misurazione fosse stata fatta sui prezzi di un titolo italiano, la deviazione standard sarebbe espressa in euro.

Un esempio renderà tutto più chiaro.

I Close rilevati nei 10 giorni sono: 8, 6, 7, 7, 9, 6, 7, 9, 4, 7.

(8 + 6 + 7 + 7 + 9 + 6 + 7 + 9 + 4 + 7) / 10 = 7

(8 – 7)2, (6 – 7)2, (7 – 7)2, …. , (4 – 7)2, (7 – 7)2

1 + 1 + 0 + … 9 + 0 / 10 = 20 / 10 = 2

Radice quadrata di 2 = 1,41

La deviazione standard dei Close, calcolata nei 10 periodi, è di 1,41 €.

Quindi, considerando tutti gli assunti relativi alla distribuzione gaussiana dei Close, possiamo affermare che il valore successivo a questi 10 Close, avrà una probabilità del 98% di essere compreso tra la media dei Close + 2 volte 1,41 e la stessa media – 2 volte 1,41, cioè avrà il 98 % di rimanere all’interno 9,82 e 4,18.

La distribuzione gaussiana (Bell Curve) è rappresentata nella seguente immagine:

Per semplificare le misurazioni e le loro interpretazioni abbiamo utilizzato un piccolo artificio, lo Z-Score.

Z-score è una misura statistica che rappresenta la relazione tra un valore e la media dei valori di un gruppo di cui questi fa parte. Un valore di Z-score = 0 significa che il punteggio è uguale alla media. Può assumere valori positivi e valori negativi indicando se è sopra o sotto la media e di quante deviazioni standard.

Se volessimo calcolarlo sui prezzi Close, la formula sarebbe: Close – media dei Close / deviazione standard …ovvero movimento/deviazione.

In questo modo abbiamo un valore che è paragonabile tra titoli di diverso prezzo.

L’OverSpread è un grafico, espresso in Z-Score, centrato sullo zero e la cui scala è coincidente con i valori della campana gaussiana. Tutti i grafici, di qualsiasi coppia di strumenti, avranno perciò la stessa scala, e quindi saranno sempre confrontabili tra di loro, e tutti avranno sempre la stessa interpretazione: se il grafico raggiunge il valore di +2 o -2 Z-Score, significa che ho solo circa il 2% di probabilità di proseguire oltre questi valori estremi, e circa il 98% di probabilità di ritornare verso il valore centrale.

E’ chiaro che con queste probabilità si possono individuare ottime opportunità di trading, cosa difficilmente ottenibile con la semplice correlazione. Anzi, più gli strumenti sono correlati, e meno sono le probabilità di guadagnare. Come promesso all’inizio di questo scritto ve lo dimostro:

Prendiamo 2 strumenti A e B perfettamente correlati, ovvero al movimento di 1 € di A corrisponde un movimento di 1 € di B nella stessa direzione, è ovvio che non avranno mai una divergenza, e pertanto non potrò ottenere mai nessun guadagno.

I contro il rischio di mercato, infatti, si trasferisce sul differenziale di rendimento: scegliendo male la coppia di titoli, si va incontro a una perdita quasi assicurata.

I rimedi e alcune tecniche ti cautela

Abbiamo sino a qui letto che lo spread consiste nell’utilizzo di una coppia di strumenti. Dobbiamo tener presente che i titoli azionari NON dovrebbero essere venduti allo scoperto per diversi motivi, il costo del prestito titoli, la revoca senza condizione di tale prestito, il divieto ex post che potrebbe essere posto a tale posizione. Per tale scopo è meglio l’utilizzo dei Future che permettono di assumere posizioni Short e Long semplicemente con la sottrazione del margine di garanzia, che è quella quota di denaro trattenuta dalla Cassa Margine e Compensazione per garantire la controparte. E’ pertanto possibile mantenere la posizione Short sino alla scadenza del Future semplicemente avendo cura di avere nel conto i denari sufficienti per il margine.

Altro modo per costruire l’OverSpread è di metterlo in essere utilizzando le Opzioni. In questo caso si possono utilizzare scadenze più lunghe di quelle del Future ed il costo dell’operazione è uguale, rimanendo in entrambi i casi a circa il 25% del costo utilizzando direttamente i titoli.

Avendo poi un OverSpread costruito con le opzioni si possono sfruttare tutte le tecniche di difesa degli strike, come ad esempio rollare.

Altra tecnica potrebbe essere quella di definire il momento del il primo di intervento e la soglia dell’intervento, in pratica si definisca dopo che percentuale avversa si deve intervenire e che opzioni comperare a copertura del future.

Ad esempio supponiamo che nella mia coppia stia andando dalla parte sbagliata il titolo Long che avevo comperato a 8 euro.

Supponiamo di aver deciso che 0,5 euro di movimento avverso avrebbero fatto scattare il mio piano “B” e che il piano consisteva nell’acquisto di una opzione strike 6,5, così facendo ho definito la mia massima perdita in quella direzione, potendo cosi tranquillamente affrontare una escursione anche del 100% in quanto la perdita massima ed il conseguente margine non aumenterà oltre la soglia prefissata di 8 – 6,5= 1,5 euro.

Oppure combinare Opzioni e Future:

Ora si tratta di individuare le coppie e di avere la consolle di controllo per portare a termine l’ OverSpread una volta iniziato. A questo scopo abbiamo inserito in beeTrader, software di nostra ideazione, la funzione OverSpread.